So sieht eine KlausurBuddy-Klausur aus

a) Nullstellen: Ausklammern von 2 ergibt 2(x² − 4x + 3) = 0, also x² − 4x + 3 = 0. Mit p-q-Formel: x₁ = 1, x₂ = 3. b) Scheitelpunkt durch quadratische Ergänzung: f(x) = 2(x² − 4x) + 6 = 2((x − 2)² − 4) + 6 = 2(x − 2)² − 2. Scheitelpunkt S(2 | −2). c) Skizze zeigt nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt bei (2 | −2) und Nullstellen bei x = 1 und x = 3.

a) f(x) = 2x² − 8x + 6 = 0. Ausklammern: 2(x² − 4x + 3) = 0, also x² − 4x + 3 = 0. Mit p-q-Formel: x₁₂ = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1. Nullstellen: x₁ = 1, x₂ = 3. b) Quadratische Ergänzung: f(x) = 2(x² − 4x) + 6 = 2(x² − 4x + 4 − 4) + 6 = 2((x − 2)² − 4) + 6 = 2(x − 2)² − 8 + 6 = 2(x − 2)² − 2. Scheitelpunkt S(2 | −2). c) Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel (a = 2 > 0) mit Scheitelpunkt bei (2 | −2), Nullstellen bei x = 1 und x = 3, y-Achsenabschnitt bei (0 | 6).

a) Abwurfhöhe ist der y-Achsenabschnitt h(0) = 2 m. b) Maximale Höhe im Scheitelpunkt: x_S = −b/(2a) = −0,8/(−0,2) = 4 m. Einsetzen: h(4) = −0,1·16 + 0,8·4 + 2 = 4,2 m. Der Ball erreicht bei 4 m horizontaler Entfernung die maximale Höhe von 4,2 m. c) Nullstellen berechnen: −0,1x² + 0,8x + 2 = 0, also x² − 8x − 20 = 0. p-q-Formel: x₁₂ = 4 ± √(16 + 20) = 4 ± 6. Nur x₂ = 10 ist physikalisch sinnvoll. Der Ball trifft bei 10 m auf dem Boden auf.

a) h(0) = −0,1·0² + 0,8·0 + 2 = 2. Der Ball wird aus 2 m Höhe abgeworfen. b) Scheitelpunkt: x_S = −b/(2a) = −0,8/(2·(−0,1)) = 4. h(4) = −0,1·16 + 0,8·4 + 2 = −1,6 + 3,2 + 2 = 4,2. Die maximale Höhe beträgt 4,2 m bei einer horizontalen Entfernung von 4 m. c) h(x) = 0: −0,1x² + 0,8x + 2 = 0, multipliziert mit (−10): x² − 8x − 20 = 0. p-q-Formel: x₁₂ = 4 ± √(16 + 20) = 4 ± 6. x₁ = −2 (nicht sinnvoll), x₂ = 10. Der Ball trifft bei 10 m Entfernung auf dem Boden auf.

a) Koordinatensystem mit x-Achse 0 bis 5, y-Achse 0 bis 30, eingetragene Messpunkte zeigen parabelförmigen Verlauf. b) Ansatz f(x) = ax² + c. Mit (0|3): c = 3. Mit (4|18): 18 = a·16 + 3, also a = 0,9375 ≈ 0,94. Funktion: f(x) = 0,94x² + 3. c) f(3) = 0,94·9 + 3 = 11,46. Messwert ist 11,2, Abweichung beträgt 0,26, liegt innerhalb der Messgenauigkeit.

a) Die Punkte (0|3), (1|3,9), (2|6,8), (3|11,2), (4|18), (5|26,5) werden in ein Koordinatensystem eingetragen und zeigen einen parabelförmigen Verlauf. b) Ansatz f(x) = ax² + c. Aus (0|3) folgt: 3 = a·0 + c, also c = 3. Aus (4|18) folgt: 18 = a·16 + 3, also 16a = 15, a = 0,9375 ≈ 0,94. Die Funktion lautet f(x) = 0,94x² + 3. c) f(3) = 0,94·9 + 3 = 8,46 + 3 = 11,46. Der Messwert beträgt 11,2. Die Abweichung von 0,26 liegt im Rahmen der Messgenauigkeit von ±0,2 und ist akzeptabel.

a) Beide Parabeln haben den Scheitelpunkt bei S(2 | 2,5) (Ablesung aus dem Diagramm: x = 2, y ≈ 2,5). b) Funktion f: a < 0, da die Parabel nach unten geöffnet ist. Funktion g: a > 0, da die Parabel nach oben geöffnet ist. Die Öffnungsrichtung wird durch das Vorzeichen von a bestimmt. c) Funktion g hat Nullstellen bei ca. x ≈ 0,6 und x ≈ 3,4 (Schnittpunkte mit der x-Achse).

a) Beide Parabeln besitzen denselben Scheitelpunkt bei S(2 | 2,5), da sie dort ihr jeweiliges Extremum haben. b) Funktion f (blau) ist nach unten geöffnet, daher ist a < 0. Funktion g (rot) ist nach oben geöffnet, daher ist a > 0. Das Vorzeichen des Parameters a bestimmt die Öffnungsrichtung der Parabel. c) Die Funktion g schneidet die x-Achse bei etwa x₁ ≈ 0,6 und x₂ ≈ 3,4. Dies sind die Nullstellen von g.

a) Der Scheitelpunkt liegt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen. Mittelwert: (−2 + 6)/2 = 2. Aufgrund der Symmetrie der Parabel muss x_S = 2 sein. b) Produktform: f(x) = a(x + 2)(x − 6). Einsetzen von (0|−12): −12 = a·2·(−6) = −12a, also a = 1. Ausmultiplizieren: f(x) = (x + 2)(x − 6) = x² − 4x − 12. c) Da a = 1 > 0 ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

a) Der Scheitelpunkt einer Parabel liegt aufgrund ihrer Achsensymmetrie genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. x_S = (x₁ + x₂)/2 = (−2 + 6)/2 = 2. b) Produktform mit Nullstellen: f(x) = a(x − (−2))(x − 6) = a(x + 2)(x − 6). Einsetzen von (0|−12): −12 = a·2·(−6) = −12a, also a = 1. Ausmultiplizieren: f(x) = (x + 2)(x − 6) = x² − 6x + 2x − 12 = x² − 4x − 12. c) Der Parameter a = 1 ist positiv, daher ist die Parabel nach oben geöffnet. Positive a-Werte bedeuten stets eine Öffnung nach oben.