So sieht eine KlausurBuddy-Klausur aus

Nullstellen durch Faktorisierung oder p-q-Formel: x₁ = 2, x₂ = 4; Scheitelpunkt durch quadratische Ergänzung oder Formel xs = −b/(2a) = 3; ys = f(3) = −1; Scheitelpunkt S(3|−1); vollständige Darstellung des Rechenwegs

Mit der p-q-Formel: x² − 6x + 8 = 0 ⇒ x₁/₂ = 3 ± √(9−8) = 3 ± 1, also x₁ = 4 und x₂ = 2. Scheitelpunkt: xs = 3, ys = 3² − 6·3 + 8 = 9 − 18 + 8 = −1. Der Scheitelpunkt liegt bei S(3|−1).

Erkennen des parabelförmigen Verlaufs (Wurfweite steigt bis ca. 45° und fällt danach); Scheitelpunkt der Parabel bei α ≈ 45°; maximale Wurfweite w_max = 20,0 m bei 45°; physikalische Interpretation: optimaler Abwurfwinkel für maximale Reichweite; Bezug zu Material 1 hergestellt

Die Messwerte zeigen einen parabelförmigen Verlauf: Die Wurfweite steigt zunächst mit größerem Winkel an, erreicht bei etwa 45° ihr Maximum von 20,0 m und nimmt danach wieder ab. Der Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel liegt bei α = 45° mit w_max = 20,0 m. Dies entspricht dem physikalischen Gesetz, dass bei konstanter Abwurfgeschwindigkeit der 45°-Winkel die größte horizontale Reichweite liefert.

Wertetabelle für x ∈ [−2; 6] erstellt; Scheitelpunkt S(2|5) berechnet und markiert; Nullstellen x₁ ≈ −1,16 und x₂ ≈ 5,16 berechnet und markiert; Parabel sauber nach unten geöffnet gezeichnet; Achsenbeschriftung korrekt; Maßstab eingehalten

Scheitelpunkt: xs = −b/(2a) = −2/(−1) = 2, ys = −0,5·4 + 4 + 3 = 5, also S(2|5). Nullstellen mit p-q-Formel aus −0,5x² + 2x + 3 = 0 ⇒ x² − 4x − 6 = 0: x₁/₂ = 2 ± √(4+6) = 2 ± √10, also x₁ ≈ −1,16 und x₂ ≈ 5,16. Die Parabel ist nach unten geöffnet (a < 0) und verläuft durch die berechneten Punkte.

Symmetrie zur y-Achse erkannt, daher Ansatz f(x) = ax² + c geeignet; Punkt (0|2,5) liefert c = 2,5; Punkt (2|0) liefert Gleichung 4a + 2,5 = 0; Lösung a = −0,625; Funktionsgleichung f(x) = −0,625x² + 2,5; Probe mit (−2|0) bestätigt die Lösung; schlüssige Begründung der Eignung

Da der Torbogen symmetrisch zur Mitte ist und der Scheitelpunkt auf der y-Achse liegt, ist der Ansatz f(x) = ax² + c geeignet. Aus Punkt (0|2,5) folgt: c = 2,5. Aus Punkt (2|0) folgt: 0 = a·4 + 2,5 ⇒ a = −0,625. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = −0,625x² + 2,5. Probe mit (−2|0): f(−2) = −0,625·4 + 2,5 = 0 ✓. Die quadratische Funktion ist somit geeignet.

Gleichsetzen f(x) = g(x) führt zu x² − 3x = 0; Lösungen x₁ = 0 und x₂ = 3; Schnittpunkte S₁(0|3) und S₂(3|0) berechnet; Erläuterung: Die Gerade schneidet die Parabel zweimal; zwischen den Schnittpunkten liegt die Gerade oberhalb der Parabel, außerhalb unterhalb; Bezug zu den konkreten Intervallgrenzen; vollständige mathematische Argumentation

Gleichsetzen: x² − 4x + 3 = −x + 3 ⇒ x² − 3x = 0 ⇒ x(x − 3) = 0. Lösungen: x₁ = 0, x₂ = 3. Einsetzen: S₁(0|3), S₂(3|0). Im Intervall [0; 3] liegt die Gerade g oberhalb der Parabel f, da die Parabel nach unten geöffnet ist und die beiden Graphen sich bei x = 0 und x = 3 schneiden. Im Intervall [3; 4] liegt die Parabel oberhalb der Geraden, da f(4) = 3 und g(4) = −1. Die Gerade fällt, während die Parabel ab ihrem Scheitelpunkt bei x = 2 wieder steigt.