So sieht eine KlausurBuddy-Klausur aus

1.1: Bei 135° liegt P im 2. Quadranten; cos(135°)=-√2/2≈-0,707, sin(135°)=√2/2≈0,707 → P(-0,707 ; 0,707). (3 BE) 1.2: x=0,5 und y=-0,866 (4. Quadrant); cos(β)=0,5 → β₁=60°, aber y<0 → β=360°-60°=300°. (4 BE) 1.3: sin(γ)=0,6 → γ₁=arcsin(0,6)≈37°; im 2. Quadranten γ₂=180°-37°=143°; zwei Lösungen, da die y-Koordinate 0,6 auf zwei Punkten des Einheitskreises erreicht wird (symmetrisch zur y-Achse). (5 BE)

1.1: Gegeben: α = 135° (2. Quadrant) Gesucht: Koordinaten von P Ansatz: P(cos(135°) ; sin(135°)) Berechnung: cos(135°) = cos(180°-45°) = -cos(45°) = -√2/2 ≈ -0,707 sin(135°) = sin(180°-45°) = sin(45°) = √2/2 ≈ 0,707 → P(-0,707 ; 0,707) 1.2: Gegeben: Q(0,5 ; -0,866) Gesucht: Winkel β Ansatz: cos(β) = 0,5 und sin(β) = -0,866 Berechnung: |arccos(0,5)| = 60° Da sin(β) < 0, liegt β im 3. oder 4. Quadranten. Da cos(β) > 0, liegt β im 4. Quadranten. → β = 360° - 60° = 300° 1.3: Gegeben: sin(γ) = 0,6 Gesucht: alle γ ∈ [0°;360°) Ansatz: arcsin(0,6) + Symmetrie am Einheitskreis Berechnung: γ₁ = arcsin(0,6) ≈ 36,9° ≈ 37° γ₂ = 180° - 37° = 143° Begründung: Am Einheitskreis gibt die y-Koordinate den Sinus an. Die Höhe y = 0,6 wird im 1. Quadranten bei γ₁ ≈ 37° und im 2. Quadranten bei γ₂ ≈ 143° erreicht (Achsensymmetrie zur y-Achse). → γ₁ ≈ 37°, γ₂ ≈ 143°

2.1: Winkel β berechnen (β=180°-48°-65°=67°); Sinussatz anwenden: AB/sin(γ) = AC/sin(β) → AB = AC·sin(γ)/sin(β) = 250·sin(65°)/sin(67°) ≈ 246,4 m. (7 BE: Winkelberechnung 2 BE, Ansatz 2 BE, Rechnung 2 BE, Antwortsatz 1 BE) 2.2: Sinussatz: BC/sin(α) = AC/sin(β) → BC = 250·sin(48°)/sin(67°) ≈ 201,8 m. (6 BE: Ansatz 2 BE, Rechnung 3 BE, Antwortsatz 1 BE)

2.1: Gegeben: AC = 250 m, α = 48°, γ = 65° Gesucht: AB = c Schritt 1: Winkel β berechnen β = 180° - α - γ = 180° - 48° - 65° = 67° Schritt 2: Sinussatz anwenden Ansatz: AB/sin(γ) = AC/sin(β) Umformen: AB = AC · sin(γ)/sin(β) Einsetzen: AB = 250 m · sin(65°)/sin(67°) Berechnung: AB = 250 m · 0,906/0,921 ≈ 246,4 m → Die Entfernung AB beträgt etwa 246,4 m. 2.2: Gegeben: AC = 250 m, α = 48°, β = 67° Gesucht: BC = a Ansatz: BC/sin(α) = AC/sin(β) Umformen: BC = AC · sin(α)/sin(β) Einsetzen: BC = 250 m · sin(48°)/sin(67°) Berechnung: BC = 250 m · 0,743/0,921 ≈ 201,8 m → Die Strecke BC ist etwa 201,8 m lang.

3.1: Kosinussatz: b²=a²+c²-2ac·cos(β) = 85²+120²-2·85·120·cos(72°) ≈ 7225+14400-6302,4 ≈ 15322,6 → b≈123,8 m. (6 BE: Ansatz 2 BE, Rechnung 3 BE, Antwortsatz 1 BE) 3.2: Sinussatz: sin(α)/a = sin(β)/b → sin(α) = a·sin(β)/b = 85·sin(72°)/123,8 ≈ 0,653 → α≈40,8°≈41°; γ=180°-72°-41°=67°. Alternative Kosinussatz möglich. (8 BE: Ansatz 3 BE, α berechnen 3 BE, γ berechnen 2 BE)

3.1: Gegeben: a = 85 m, c = 120 m, β = 72° Gesucht: b Ansatz: Kosinussatz b² = a² + c² - 2·a·c·cos(β) Einsetzen: b² = 85² + 120² - 2·85·120·cos(72°) Berechnung: b² = 7225 + 14400 - 20400·0,309 b² = 7225 + 14400 - 6303,6 b² = 15321,4 b = √15321,4 ≈ 123,8 m → Die Seitenlänge b beträgt etwa 123,8 m. 3.2: Gegeben: a = 85 m, b ≈ 123,8 m, β = 72° Gesucht: α und γ Ansatz: Sinussatz sin(α)/a = sin(β)/b Umformen: sin(α) = a·sin(β)/b Einsetzen: sin(α) = 85·sin(72°)/123,8 Berechnung: sin(α) = 85·0,951/123,8 ≈ 0,653 α = arcsin(0,653) ≈ 40,8° ≈ 41° Winkelsumme: γ = 180° - β - α = 180° - 72° - 41° = 67° → Die Winkel sind α ≈ 41° und γ ≈ 67°.

4.1: Schnittpunkte bei x≈45° und x≈225° (ablesen aus Graph). (3 BE) 4.2: Nullstellen der Sinusfunktion bei 0°, 180°, 360°; am Einheitskreis: y-Koordinate = 0, d.h. die Punkte liegen auf der x-Achse (bei 0°, 180°, 360° auf dem positiven bzw. negativen Teil der x-Achse). (4 BE) 4.3: Die horizontale Linie y=0,8 schneidet den Kosinus-Graphen an zwei Stellen (einmal im Anstieg vor 90°, einmal im Abstieg nach 270°); Symmetrie der Kosinusfunktion zur y-Achse bzw. zum Scheitelpunkt sorgt für genau zwei Schnittpunkte im Intervall [0°;360°). (4 BE)

4.1: Aus Material 4 liest man ab: Die beiden Graphen schneiden sich bei x ≈ 45° und x ≈ 225°. → Bei diesen Winkeln haben Sinus und Kosinus den gleichen Funktionswert. 4.2: Die Nullstellen der Sinusfunktion liegen bei x = 0°, x = 180° und x = 360°. Bedeutung am Einheitskreis: Der Sinus entspricht der y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis. Bei 0° und 360° liegt der Punkt bei (1; 0) auf der positiven x-Achse, bei 180° bei (-1; 0) auf der negativen x-Achse. In allen drei Fällen ist die y-Koordinate null, daher sin(x) = 0. 4.3: Der Kosinusgraph beginnt bei x = 0° mit dem Wert 1, fällt dann auf -1 bei x = 180° und steigt wieder auf 1 bei x = 360°. Eine horizontale Linie bei y = 0,8 schneidet den Graphen daher zweimal: einmal beim Abstieg im Intervall [0°; 90°] (etwa bei x ≈ 37°) und einmal beim Wiederanstieg im Intervall [270°; 360°] (etwa bei x ≈ 323°). Die Symmetrie der Kosinusfunktion garantiert, dass es genau zwei Schnittpunkte gibt. → Die Gleichung cos(x) = 0,8 hat im angegebenen Intervall genau zwei Lösungen.

5.1: Beide Strategien reichen aus. Strategie A: mit Kosinussatz die dritte Seite b berechnen, dann Sinussatz für die Winkel. Strategie B: mit Kosinussatz (umgestellt) alle drei Winkel bestimmen. Beide ermöglichen vollständige Bestimmung des Dreiecks. (5 BE: je Strategie Begründung 2 BE, Gesamturteil 1 BE) 5.2: Strategie A vermutlich einfacher: nur einen Winkel messen (mit Theodolit/Winkelmesser von einem Standpunkt), zwei Strecken ausmessen. Strategie B erfordert Zugang zu allen drei Ecken und Ausmessen aller drei Seiten durch Unterholz → aufwendiger. In unwegsamem Gelände ist Winkelmessung von einem Punkt oft praktikabler als mehrfaches Durchqueren. (5 BE: mess-technische Aspekte 3 BE, Urteil mit Begründung 2 BE)

5.1: Beide Strategien sind mathematisch ausreichend. Strategie A (zwei Seiten, eingeschlossener Winkel): Mit dem Kosinussatz kann man die dritte Seite b berechnen: b² = a² + c² - 2·a·c·cos(β). Anschließend lassen sich mit dem Sinussatz die beiden fehlenden Winkel α und γ bestimmen. → Alle Größen des Dreiecks sind berechenbar. Strategie B (drei Seiten): Mit dem Kosinussatz (umgestellt nach dem Winkel) kann man alle drei Winkel berechnen, z.B.: cos(α) = (b² + c² - a²)/(2·b·c) und analog für β und γ. → Alle Größen des Dreiecks sind berechenbar. Fazit: Beide Strategien reichen aus, um das Dreieck vollständig zu bestimmen. 5.2: In der Praxis ist Strategie A vermutlich einfacher durchzuführen. Begründung: - Bei Strategie A muss man von einem Standpunkt (z.B. Ecke B) einen Winkel messen (mit Theodolit oder Kompass) und zwei Seiten ausmessen. Das erfordert weniger Bewegung durch das Gelände. - Bei Strategie B müssen alle drei Seiten durch dichtes Unterholz ausgemessen werden. Das bedeutet dreimaliges Durchqueren des Geländes, was bei unwegsamem Terrain sehr aufwendig ist. - Winkelmessungen sind von einem festen Standpunkt aus oft präziser und schneller durchführbar als das mehrfache Ausmessen langer Strecken durch Hindernisse. → Strategie A (zwei Seiten und eingeschlossener Winkel) ist in unwegsamem Gelände mess-technisch einfacher und praktikabler.